В 1981 году ему было присвоено звание Заслуженного артиста РСФСР, а в 1988 году — Народного артиста РСФСР. Родился в Риге семье Георгия Андриановича и Татьяны Васильевны Богатырёвых. Отца, офицера ВМФ СССР, в 1953 году перевели служить в Москву. В 1963—1966 годах учился в Художественно-промышленном училище имени М. И. Калинина на коврово-ткацком отделении, которое не окончил. Занимался во Всероссийской мастерской эстрадного искусства на отделении разговорного жанра. В 1966—1971 годах студент Театрального училища имени Б. В. Щукина [курс Ю. В. Катина-Ярцева]. В 1971—1977 годах служил в МДТ "Современник", с 1977 году был приглашен в МХАТ и некоторое время работал в 2-х театрах. Одна из лучших театральных ролей — Клеант в спектакле по пьесе Мольера "Тартюф".

Всесоюзная известность пришла к Богатырёву после выхода на экраны фильма "Свой среди чужих, чужой среди своих", в котором актёр сыграл Егора Шилова. С того момента Богатырёв начал сниматься регулярно, в том числе ещё в 5-ти картинах Никиты Михалкова. Одной из лучших его ролей становится Филиппок в картине "Объяснение в любви" [1978].

Всю жизнь Юрий Богатырёв увлекался живописью. В 1989 году должна была состояться первая персональная выставка его картин в Москве, но прошла она лишь после его смерти. Как сообщается в фильме "Большой-большой ребёнок…", большая часть его живописи исчезла.

Друзья считали его бессребреником и идеалистом. Деньги у него не задерживались. В последние годы актёр пристрастился к алкоголю, потерял форму, и его стали меньше приглашать в кино. Друзья объясняли это переживаниями актёра по поводу своей гомосексуальности. На личную жизнь актёра проливает свет биографическая книга Н. Бобровой "Юрий Богатырёв: Не такой как все".

У Юрия Богатырёва развилась депрессия, он начал принимать антидепрессанты. Вечером 1 февраля 1989 года Юрий Богатырёв принял перед сном лекарство, а ночью у него случился сердечный приступ. Была вызвана бригада скорой помощи. Богатырёву был введён клофелин, несовместимый с принятыми накануне антидепрессантами. Это вызвало шок и мгновенную остановку сердца актёра.

Похоронен актёр 6 февраля 1989 года в Москве на Ваганьковском кладбище.