Стамп родился в семье капитана буксира и вырос в рабочих кварталах лондонского Ист-Энда. Одно время снимал квартиру с начинающим актёром Майклом Кейном, который со временем станет одним из основных конкурентов Стампа в амплуа молодого раскрепощённого британца [в частности, Кейн увёл у Стампа роль галантного ловеласа Алфи в одноимённом фильме].

На захлестнувшей Британию волне увлечения индийской культурой Стамп, пресытившись лондонской тусовкой, удалился в Индию, чтобы вкусить жизни в ашраме. В 1968 г. он принял предложение Федерико Феллини сыграть в экранизации рассказа Эдгара По, вошедшей в трилогию "Три шага в бреду". После этого он поселился в Италии, где вместе с Сильваной Мангано и Анной Вяземски исполнил главную роль в загадочной "Теореме" Пьера Паоло Пазолини.

Когда Стамп вернулся в Голливуд в 1970-е годы, пик его популярности был в прошлом. Роли ему доставались весьма разношёрстные и получали неровные отзывы. Той заветной киноработой, которая открыла Стампа для самой широкой зрительской аудитории, стала роль криптонского генерала Зода в фильмах про Супермена.