Отец — Шалва Барабадзе, хирург, ушёл из семьи в 1941 году. Мать, Галина Александровна Пороховщикова, училась в ГИТИСе. Отчим, Михаил Дудин — военный архитектор. В 1957-1960 Александр учился в Челябинском медицинском институте.
В 1960-1966 — мебельщик-реквизитор театра им. Е. Вахтангова. Закончил актёрский факультет при Российском театральном обществе [1961], театральное училище им. Б. Щукина [1966]. Работал в московских театрах: Сатиры, "На Таганке" [1966-1981], в театре им. А. Пушкина. Народный артист РФ [1994]. 12 февраля 2012 года Александр лишился части стопы из-за острого разлитого гнойного воспаления. 10 марта 2012 жена Александра Ирина покончила жизнь самоубийством. Причиной смерти артиста стала болезнь сердца, вызванная сахарным диабетом.